Diketahui deret geometri tak hingga \(16+4+1+\cdots\). Jika jumlah deret tersebut dikurangi dengan jumlah \(n\) suku pertama, hasilnya kurang dari \( \frac{1}{3.000} \). Nilai \(n\) terkeccil yang memenuhi adalah…
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
(Soal UMPTN 2001)
Pembahasan:
Dari deret \(16+4+1+\cdots\) diketahui suku pertama \(a=16\) dan rasio \(r = \frac{1}{4}\), sehingga diperoleh:
\begin{aligned} S_\infty - S_n < \frac{1}{3.000} \\[8pt] \frac{a}{1-r}-\frac{a(1-r^n)}{1-r} < \frac{1}{3.000} \\[8pt] \frac{16}{1-\frac{1}{4}}-\frac{16\left(1-(\frac{1}{4})^n \right)}{1-\frac{1}{4}} < \frac{1}{3.000} \\[8pt] \frac{16}{\frac{3}{4}}-\frac{16-16 \left( \frac{1}{4} \right)^n}{\frac{3}{4}} < \frac{1}{3.000} \\[8pt] 16-16-16 \left( \frac{1}{4} \right)^n < \frac{1}{4.000} \\[8pt] 16 \left( \frac{1}{4} \right)^n < \frac{1}{4.000} \\[8pt] \left( \frac{1}{4} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^n < \frac{1}{250} \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^2 \\[8pt] \left( \frac{1}{4} \right)^{-4} \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^n < \frac{1}{250} \\[8pt] \left( \frac{1}{4} \right)^{n-4} < \frac{1}{250} \end{aligned}
Perhatikan bahwa \( \left( \frac{1}{4} \right)^4 = \frac{1}{256} \) sehingga nilai \(n\) terkecil agar \( \left( \frac{1}{4} \right)^{n-4} < \frac{1}{250} \) adalah \( n-4=4 \) atau \(n = 8 \).
Jawaban D.